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频率响应与幅角原理

M1saK1 — Thu, 13 Aug 2026 00:00:00 GMT

本文只为笔者简单学习得到的结果，如有错误或者偏差恳请指出

上一篇在分析反馈的时候其实应该还缺一些前置知识，虽然不妨碍理解反馈，但如果我们要深入理解整个系统，定量的分析，那么还需要去理解一下频率响应和幅角原理，以便来更好的分析吧

从有源 RC 得到频率响应

VCVS 搭一个有源 RC

我们先用一个 VCVS(电压控制电压源)，把真实放大器的输出端简化成：

v_s=\mu v_i

$v_i$ 是输入端的小信号，负责控制输出； $v_s$ 是放大后的电压， $\mu$ 是电压增益。真实放大器还连接着独立电源，输出端送给负载的净能量就会来自这个电源。

现在我们让 VCVS 先把输入放大，再通过一个 RC 低通送到输出端：

我们来假设下面这组数值：

\mu=4

R=2\,\mathrm{k}\Omega

C=0.5\,\mu\mathrm F

暂时认为输出端没有连接其他负载，因此流过电阻的电流全部流入电容，所以：

\frac{v_s(t)-v_o(t)}{R} =C\frac{\mathrm d v_o(t)}{\mathrm dt}

又因为受控源满足 $v_s(t)=\mu v_i(t)$ ，代入得到：

\frac{\mu v_i(t)-v_o(t)}{R} =C\frac{\mathrm d v_o(t)}{\mathrm dt}

整理一下：

\boxed{ \mu v_i(t) =v_o(t)+RC\frac{\mathrm d v_o(t)}{\mathrm dt} }

正弦稳态

给这个电路输入一个角频率为 $\omega$ 的正弦信号：

v_i(t)=V_i\cos(\omega t)

这个电路由线性元件组成，而且元件参数不随时间改变，所以是一个线性时不变系统。刚接通信号时会有一段暂态过程，但等暂态结束以后，输出是相同频率的正弦信号，但是幅度和相位有可能已经改变，比如说：

v_o(t)=V_o\cos(\omega t+\varphi)

现在我们想知道的是：

输出幅度是输入幅度的多少倍
输出相对输入产生了多少相位变化

而且换一个输入频率以后，这两个结果也会改变。频率响应记录的，就是系统在每一个频率下对输入信号造成的幅度变化和相位变化

用复指数求出频率响应

刚才的电路方程中带有导数，直接展开三角函数也能算，但是会很麻烦。我们把正弦信号写成复指数形式，就能减少后续计算量：

v_i(t) =\operatorname{Re}\left\{ \underline V_i e^{j\omega t} \right\}

v_o(t) =\operatorname{Re}\left\{ \underline V_o e^{j\omega t} \right\}

$\underline V_i$ 和 $\underline V_o$ 是复数幅值。它们不只记录幅度，也把信号的相位一起记录了下来

复指数有一个很方便的性质：

\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \left(\underline V_o e^{j\omega t}\right) =j\omega\underline V_o e^{j\omega t}

也就是说，对正弦稳态信号求导，可以换成乘以 $j\omega$ ：

\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \quad\longrightarrow\quad j\omega

把它代回有源 RC 的方程：

\mu\underline V_i e^{j\omega t} =\underline V_o e^{j\omega t} +j\omega RC\underline V_o e^{j\omega t}

每一项中都有 $e^{j\omega t}$ ，约掉以后：

\mu\underline V_i =\underline V_o(1+j\omega RC)

把输出和输入的复数幅值之比定义为 $H(j\omega)$ ：

\boxed{ H(j\omega) :=\frac{\underline V_o}{\underline V_i} =\frac{\mu}{1+j\omega RC} }

$H(j\omega)$ 不是突然出现的抽象函数。它就是在输入频率为 $\omega$ 时，输出复数幅值和输入复数幅值的比值。因为复数幅值同时保存了幅度和相位，所以这个比值也同时保存了电路带来的幅度变化和相位变化

拆出幅度和相位

现在已经得到：

H(j\omega)=\frac{\mu}{1+j\omega RC}

本文中的 $\mu=4$ ，是一个相位为 $0^\circ$ 的正实数，所以它只改变幅度，不额外改变相位

分母 $1+j\omega RC$ 的模长为：

\left|1+j\omega RC\right| =\sqrt{1+(\omega RC)^2}

相角为：

\arg(1+j\omega RC) =\arctan(\omega RC)

分母的模长要取倒数，相角要取负号，所以：

\boxed{ |H(j\omega)| =\frac{\mu}{\sqrt{1+(\omega RC)^2}} }

\boxed{ \angle H(j\omega) =-\arctan(\omega RC) }

如果输入为：

v_i(t)=V_i\cos(\omega t)

那么稳态输出就是：

\boxed{ v_o(t) =|H(j\omega)|V_i \cos\left(\omega t+\angle H(j\omega)\right) }

到这里，开头的两个问题都有答案了： $|H(j\omega)|$ 告诉我们幅度变成了多少倍， $\angle H(j\omega)$ 告诉我们相位移动了多少度。但是它们都会随着 $\omega$ 变化，所以还要看看换一个频率以后会得到什么结果

把频率响应画出来

为了少写一点，令：

\omega_p=\frac{1}{RC}

那么：

H(j\omega) =\frac{\mu}{1+j\omega/\omega_p}

先算一下这里的 $RC$ ：

RC =2\times10^3\times0.5\times10^{-6} =1\,\mathrm{ms}

因此：

\omega_p =\frac{1}{RC} =1000\,\mathrm{rad/s}

换成普通频率：

f_p =\frac{\omega_p}{2\pi} \approx159\,\mathrm{Hz}

再把几个频率代进去：

频率	$\lvert H(j\omega)\rvert$	$\angle H(j\omega)$
$0.1\omega_p$	$3.98$	$-5.7^\circ$
$\omega_p$	$2.83$	$-45^\circ$
$10\omega_p$	$0.398$	$-84.3^\circ$

低频时，RC 几乎没有造成衰减，输出约为输入的 4 倍。在 $\omega=\omega_p$ ，也就是大约 $159\,\mathrm{Hz}$ 时，幅度变成 $2.83$ 倍，相位为 $-45^\circ$ 。频率继续升高以后，输出幅度不断减小，相位滞后也不断增加

这里只代入了三个频率点，还看不出完整的变化过程，我们最好用图表来描述一下

图中相同颜色的点来自同一个频率

从频率响应到稳定性

前面的 $H(j\omega)$ 记录的是输入一个等幅正弦信号以后，输出的幅度和相位怎么变化。但是要分析稳定性，我们更关心电路受到扰动以后，这个扰动会自己衰减，还是会越来越大。只用 $j\omega$ 还看不到这些，所以要把它再扩展一下

从 $j\omega$ 扩展到 $s$

前面使用的复指数是：

e^{j\omega t}

它只能表示等幅振荡。把 $j\omega$ 扩展成一个更一般的复数：

s=\sigma+j\omega

那么：

e^{st} =e^{(\sigma+j\omega)t} =e^{\sigma t}e^{j\omega t}

这里的 $e^{j\omega t}$ 仍然负责振荡， $e^{\sigma t}$ 负责改变振荡的幅度：

$\sigma<0$ 时，幅度会不断衰减
$\sigma=0$ 时，幅度保持不变
$\sigma>0$ 时，幅度会不断增长

$s$ 的实部负责增长和衰减，虚部负责振荡，这个 $s$ 就叫作复频率

对于 $e^{st}$ ，求导会变成乘以 $s$ ：

\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}e^{st} =se^{st}

把它放回同一个有源 RC 的方程，就能得到：

\boxed{ H(s)=\frac{\mu}{1+sRC} }

当我们只看等幅正弦信号时，令 $\sigma=0$ ，也就是令 $s=j\omega$ ：

H(j\omega) =H(s)\big|_{s=j\omega}

所以 $H(j\omega)$ 其实就是 $H(s)$ 在虚轴上的那一部分

极点与自然响应

刚才得到的 $H(s)$ ，分母等于 $0$ 时：

1+sRC=0

p=-\frac{1}{RC}

让传递函数分母等于 $0$ 的位置叫作极点。前面已经算出 $RC=1\,\mathrm{ms}$ ，所以这里的极点为：

p=-1000\,\mathrm{s}^{-1}

这个 $-1000$ 还会直接出现在电路的自然响应里。把外部输入撤掉以后：

v_o(t)=Ke^{-1000t}

指数中的 $-1000$ 就是刚才算出来的极点。它位于 $s$ 平面的左半平面，对应的信号会随时间衰减，所以这个有源 RC 自身是稳定的

反馈稳定性到底要找什么

这里先别把 $H(s)$ 和后面的 $T(s)$ 混在一起。 $H(s)$ 是这个有源 RC 从输入到输出的传递函数；接成反馈以后，信号绕环路一圈产生的变化记作：

T(s)=-A(s)\beta(s)

按照这里的符号约定，闭环增益为：

A_{\mathrm{CL}}(s) =\frac{A(s)}{1-T(s)}

闭环极点出现在 $1-T(s)=0$ 的位置。为了少写一点，令：

F(s)=1-T(s)

这样问题就变成了： $F(s)$ 在右半平面内有没有零点，因为这些零点同时也是闭环系统的极点

比如说：

T(s)=\frac{2}{s+1}

那么：

F(s) =1-\frac{2}{s+1} =\frac{s-1}{s+1}

当 $s=1$ 时：

F(1)=0

所以闭环系统在右半平面有一个极点 $s=1$ ，对应的自然响应中会出现 $e^t$ ，它会不断增长，系统也就不稳定。

简单的函数可以直接解方程，但是函数复杂以后，把所有零点都直接解出来就很困难啊。所以接下来我们换一种办法：不直接计算路径内部的每一个点，看一圈边界经过函数以后变成了什么形状

幅角原理

先把右半平面围起来

想知道右半平面里有没有 $F(s)$ 的零点，先用一条闭合路径把它围起来。这条路径记作 $\Gamma_R$ ，由两部分组成：

\Gamma_R =\text{虚轴上的线段} +\text{右侧的大半圆弧}

右半平面和 $\Gamma_R$ 不是一个东西，前者是要检查的区域，后者只是区域的边界。图中先画一个有限半径 $R$ ，最后再让 $R\to\infty$ 。本文让 $\Gamma_R$ 逆时针前进，后面的绕圈正负也按照这个方向计算

边界经过函数映射

让 $s$ 沿着 $\Gamma_R$ 走一圈，再把边界上的每一个 $s$ 代入 $F(s)$ 。 $s$ 画在 $s$ 平面中，算出来的 $F(s)$ 画在另一个 $F$ 平面中

比如先用一个很简单的函数：

F(s)=1+2s

并且暂时取 $R=1$ 。边界上的几个点经过函数以后会变成：

s=j\quad\longmapsto\quad F(s)=1+2j

s=1\quad\longmapsto\quad F(s)=3

s=-j\quad\longmapsto\quad F(s)=1-2j

这里只把边界上的点代入函数，不需要把内部的点全部算一遍。输入路径的起点和终点是同一个 $s$ ，得到的 $F(s)$ 当然也相同；只要函数在边界上连续，映射出来的轨迹就仍然闭合。接下来要看的，就是这条轨迹有没有绕原点

一个零点为什么会产生绕圈

先只看最简单的情况：

F(s)=s-z_0

当 $s=z_0$ 时， $F(s)=0$ ，所以 $z_0$ 是这个函数的零点。这里的 $s-z_0$ 也可以看成一根从 $z_0$ 指向 $s$ 的向量。

先不管刚才的半圆，把路径换成一个半径为 $2$ 的圆会更容易看：

s=2e^{j\theta}, \qquad 0\le\theta\le2\pi

如果零点为：

z_0=0.7+j0.4

那么：

|z_0| =\sqrt{0.7^2+0.4^2} \approx0.81<2

所以这个零点位于路径内部。这不是凭空假设它一定在里面，而是拿零点的位置和路径半径比较以后得到的结果。

当 $s$ 沿着圆走一圈时，从 $z_0$ 指向 $s$ 的向量会转过所有方向。又因为这个向量就是 $F(s)=s-z_0$ ，所以画到 $F$ 平面以后，轨迹也会绕原点一圈。

如果换成：

z_0=3+j0.4

那么：

|z_0| =\sqrt{3^2+0.4^2} \approx3.03>2

这个零点位于路径外部。从这个零点看向路径时，向量的方向只会来回变化，不会完整地转过所有方向，所以映射轨迹也不会绕原点一圈。

到这里，我们只说明了一个零点为什么会让映射轨迹绕原点。多个零点和极点一起出现以后应该怎么算?

多个零点和极点如何合在一起

其实就是把刚才的 $s-z_0$ 多写几次。一个有多个零点和极点的函数可以写成：

F(s) =K\frac{(s-z_1)(s-z_2)\cdots(s-z_m)} {(s-p_1)(s-p_2)\cdots(s-p_n)}

$z_1,z_2,\ldots$ 是零点， $p_1,p_2,\ldots$ 是极点。复数相乘时相角相加，相除时相角相减，所以：

\arg F(s) =\arg K +\sum_i\arg(s-z_i) -\sum_i\arg(s-p_i)

当 $s$ 沿着逆时针闭合路径 $\Gamma$ 走一圈时，路径内部的每一个零点都会贡献 $360^\circ$ ，外部的零点净变化为 $0$ 。极点在分母上，所以内部的每一个极点会减掉 $360^\circ$ 。常数 $K$ 不会随 $s$ 变化，自然也不会贡献什么

假设路径内部一共有 $Z$ 个零点和 $P$ 个极点，那么：

\boxed{ \Delta_\Gamma\arg F(s) =360^\circ(Z-P) }

把映射轨迹逆时针绕原点的净圈数记作 $N$ ：

\boxed{N=Z-P}

图中的输入路径包住了两个零点和一个极点，所以：

N=Z-P=2-1=1

映射轨迹也就净绕原点一圈。这个结论就是幅角原理，数一下边界映射以后绕了几圈，就能得到路径内部的零点数和极点数相差多少

这里有一个前提，路径不能刚好穿过 $F(s)$ 的零点或者极点，否则函数值会变成 $0$ 或者无穷大，绕圈数也就没法正常计算

回到反馈系统

数出闭环极点

前面费了这么大劲去数函数的零点，最后还是为了把它接回反馈系统。回到前面定义的 $F(s)=1-T(s)$ ：

因为 $F(s)=0$ 就会让闭环传递函数的分母等于 $0$ ，所以 $F(s)$ 在右半平面的零点数 $Z$ ，就是闭环系统在右半平面的极点数。 $F(s)$ 的极点数记作 $P$ ，一般也就是开环系统原本的右半平面极点数

再把 $F(\Gamma_R)$ 逆时针绕原点的净圈数记作 $N$ 。根据刚才的幅角原理：

N=Z-P

所以：

\boxed{Z=N+P}

闭环稳定就要求右半平面没有闭环极点，也就是 $Z=0$ 。所以我们不需要先把所有闭环极点解出来。开环原本有几个右半平面极点可以得到 $P$ ，映射轨迹的绕圈情况可以得到 $N$ ，最后用 $Z=N+P$ 就能知道闭环右半平面还有几个极点

为什么奈奎斯特图看点 $1$

按前面的推导，本来应该画 $F(s)=1-T(s)$ ，再观察它绕原点几圈。但是实际分析时一般直接画 $T(s)$ 。把关系式展开：

F(s)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad 1-T(s)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad T(s)=1

$F(s)$ 平面的原点正好对应 $T(s)$ 平面的点 $1$

F(s)=1-T(s)=-(T(s)-1)

负号只会把整条轨迹旋转 $180^\circ$ ，不会改变绕圈方向和圈数。所以 $F(s)$ 绕原点几圈，就等价于 $T(s)$ 绕点 $1$ 几圈

本文使用的是 $T(s)=-A(s)\beta(s)$ ，因此这里的临界点是 $1$ ，不是 $-1$

完整的奈奎斯特轨迹

这里还有最后一个问题：前面学到的频率响应只是在虚轴上取 $s=j\omega$ ，但是 $\Gamma_R$ 除了虚轴以外，还有右侧的大半圆弧

虚轴这一段经过 $T(s)$ 映射以后，就是扫频得到的 $T(j\omega)$ 。对于实系数系统：

T(-j\omega)=T(j\omega)^*

所以负频率部分可以直接由正频率轨迹关于实轴镜像得到

至于右边的大半圆弧，如果环路增益的分子次数低于分母次数，那么当 $|s|\to\infty$ 时：

T(s)\to0

这部分经过映射以后会缩到原点附近。正频率、负频率和这段大半圆弧合在一起，才是稳定性判断真正使用的完整奈奎斯特轨迹，而不是随便找一个 $H(j\omega)$ 画出来就可以判断反馈稳不稳定

奈奎斯特判据

现在 $N$ 可以直接看 $T(s)$ 的奈奎斯特轨迹绕点 $1$ 的净圈数，仍然约定逆时针为正。闭环稳定要求 $Z=0$ ，代入前面的 $Z=N+P$ ：

\boxed{N=-P}

比如开环没有右半平面极点， $P=0$ ，那轨迹就不能净绕点 $1$ 。如果开环有一个右半平面极点， $P=1$ ，就需要 $N=-1$ ，也就是顺时针净绕点 $1$ 一圈

上一篇使用的振荡临界条件是：

|T(j\omega)|=1

\angle T(j\omega)=360^\circ

两个条件同时满足就是：

T(j\omega)=1

也就是轨迹刚好经过点 $1$ 。此时：

F(j\omega)=1-T(j\omega)=0

闭环极点刚好落在虚轴上，系统处于稳定和不稳定的边界

这两个东西不能混在一起：碰到点 $1$ 只说明到了稳定边界；到底稳不稳定，还是要看轨迹净绕了几圈，再代入 $Z=N+P$

反馈的稳定性分析——振荡的产生原因

M1saK1 — Mon, 10 Aug 2026 00:00:00 GMT

本文只为笔者简单学习得到的结果，用于一些场景的业务上的了解，如有错误或者偏差恳请指出

何为反馈

反馈，就是从输出端取回一部分信号，再送回输入端与原始输入进行比较

在负反馈系统中，反馈信号会从输入信号中减去。**放大器真正放大的不是原始输入，而是两者相减后留下的误差信号。**只要环路保持稳定，并且放大器的增益足够大，最终的闭环增益就主要由反馈网络决定，而不再过分依赖放大器自身的增益。至于为什么这样下面会推导的，现在先想着这回事情就好

用一张图来说明一下吧

明显我们有好多个量: $\mathrm{in}$ 是输入信号， $\mathrm{out}$ 是输出信号。输出经过反馈网络 $\beta(j\omega)$ 后得到反馈信号 $\mathrm{fb}$ ，并被送回求和点。求和点将输入和反馈相减，得到误差信号 $e$ ，误差信号 $e$ 随后进入放大器 $A(j\omega)$ ，产生输出 $\mathrm{out}$

嗯看样子我们加了这个反馈系统后解决了一个问题：放大器的放大倍数不好控制。但是凡是都是双刃剑，反馈系统有没有什么坏处呢？有：可能会产生自振荡。为什么会这样呢，我们先推导一下 $\mathrm{out}$ 与 $\mathrm{in}$ 之间的关系

闭环增益的推导

根据上面的图，我们可以直接写出下面三个关系：

\begin{aligned} e &= \mathrm{in}-\mathrm{fb} \\ \mathrm{fb} &= \beta\cdot\mathrm{out} \\ \mathrm{out} &= A\cdot e \end{aligned}

先把 $\mathrm{fb}=\beta\cdot\mathrm{out}$ 代入第一个式子：

e=\mathrm{in}-\beta\cdot\mathrm{out}

放大器放大的是误差信号 $e$ ，所以：

\begin{aligned} \mathrm{out} &=A\cdot e \\ &=A(\mathrm{in}-\beta\cdot\mathrm{out}) \\ &=A\cdot\mathrm{in}-A\beta\cdot\mathrm{out} \end{aligned}

把带有 $\mathrm{out}$ 的部分放到等号左边：

\begin{aligned} \mathrm{out}+A\beta\cdot\mathrm{out} &= A\cdot\mathrm{in} \\ \mathrm{out}(1+A\beta) &= A\cdot\mathrm{in} \end{aligned}

然后两边同时除以 $\mathrm{in}$ 和 $(1+A\beta)$ ：

\frac{\mathrm{out}}{\mathrm{in}}=\frac{A}{1+A\beta}

这里的 $\mathrm{out}/\mathrm{in}$ 就是接入反馈以后的放大倍数，也就是闭环增益：

A_{\mathrm{CL}}=\frac{A}{1+A\beta}

如果放大器的增益 $A$ 足够大，使得 $\lvert A\beta\rvert\gg1$ ，那么分母里的 1 相比 $A\beta$ 就可以忽略：

A_{\mathrm{CL}}\approx\frac{A}{A\beta}=\frac{1}{\beta}

这样就能看出来，接入负反馈以后，整个电路的放大倍数主要由反馈网络 $\beta$ 决定，而不是由放大器本身的增益 $A$ 决定。所以反馈这就是为什么能够让放大倍数更加稳定

不过在这个公式中， $A$ 和 $\beta$ 不一定只是普通的实数。随着信号频率发生变化，它们的大小和相位也会发生变化。所以后面写得更完整一些应该是：

A_{\mathrm{CL}}(j\omega) =\frac{A(j\omega)}{1+A(j\omega)\beta(j\omega)}

$A\beta$ 表示信号经过放大器和反馈网络以后产生的总变化。不过，一个信号真正绕环路一圈时还要经过求和点，而求和点会带来一个减号。这个减号不能漏掉，下面直接测一下就知道了

环路增益的测量

为了知道一个信号绕反馈环路一圈以后会变成什么样，我们先在反馈信号进入求和点之前把环路“断开”

当然了这里的“断开”只是为了方便分析。通常会保持直流反馈不变，只在交流上注入一个很小的测试信号。我们先用理想化的方法来分析

我们把原来的输入信号设为 0，然后从断口处放入一个测试信号，记作 $v_t$

测试信号进入求和点以后，求和点仍然会进行减法，因此：

e=0-v_t=-v_t

这个信号经过放大器 $A(j\omega)$ 后，输出变成：

\mathrm{out}=A(j\omega)e=-A(j\omega)v_t

输出再经过反馈网络 $\beta(j\omega)$ ，回到断口处的信号记作 $v_r$ ：

v_r=\beta(j\omega)\mathrm{out}

把放大器的输出代入：

v_r=-A(j\omega)\beta(j\omega)v_t

因此，绕一圈回来的信号与放进去的测试信号之比为：

T(j\omega) =\frac{v_r}{v_t} =-A(j\omega)\beta(j\omega)

这个 $T(j\omega)$ 就是环路增益。

把它代回上一节得到的闭环增益：

A_{\mathrm{CL}}(j\omega) =\frac{A(j\omega)}{1-T(j\omega)}

这样一来，问题就显而易见了：如果在某个频率下 $T(j\omega)$ 恰好等于 1，那么闭环增益的分母就会变成 0。这会带来什么结果呢？

巴克豪森准则

闭环增益的分母为 0 需要

T(j\omega)=1

但是 $T(j\omega)$ 并不是一个普通的数，而是一个同时带有幅度和相位的复数。把它写成极坐标的形式：

T(j\omega) =\left|T(j\omega)\right| \mathrm{e}^{j\angle T(j\omega)}

想让 $T(j\omega)$ 真的等于 1，它的幅度和相位就必须同时满足：

\left|T(j\omega)\right|=1

\angle T(j\omega)=360^\circ

这两个条件就是巴克豪森准则。

这个结果放回上一节的测试过程就能理解了：从断口处放进去一个信号，如果它绕一圈回来以后大小没变，相位也没变，那么返回来的信号就和放进去的信号一模一样。这时候就算把外部的测试信号拿掉，信号也能在环路里一直循环下去，这就是振荡

如果 $\left|T(j\omega)\right|<1$ ，那么信号每绕一圈都会变小，最后消失。如果 $\left|T(j\omega)\right|>1$ ，信号就会每绕一圈变得更大。但是只有幅度满足条件还不够，回来的信号还必须和原来的信号同相，所以幅度和相位这两个条件必须在同一个频率下同时满足

当然实际电路的输出不会真的变成无穷大。振荡刚开始时，环路增益通常会稍微大于 1，信号的幅度会不断增大。等到放大器受到电源电压或者自身非线性的限制后，实际增益会慢慢降低，最后稳定在环路增益约等于 1 的状态

那如果我们有一个正常的反馈电路，我们要怎么测量它工作的时候有没有或会不会产生振荡呢？那就要用相位裕度来说明

相位裕度

我们知道产生振荡需要同时满足两个条件：

\left|T(j\omega)\right|=1

\angle T(j\omega)=360^\circ

但是这两个条件不一定会在同一个频率下同时满足。所以我们先找到环路增益大小刚好等于 1 的那个频率，并把它记作 $\omega_{\mathrm{gc}}$ ：

\left|T(j\omega_{\mathrm{gc}})\right|=1

这个频率叫作增益交越频率

在这个频率下，环路增益的大小已经满足了振荡的幅度条件，接下来就要看相位距离 $360^\circ$ 还有多远。这个差值就是相位裕度，记作 $\mathrm{PM}$ ：

\mathrm{PM} =360^\circ-\angle T(j\omega_{\mathrm{gc}})

比如在增益交越频率下，信号绕环路一圈产生的总相位变化是 $300^\circ$ ，那么：

\mathrm{PM}=360^\circ-300^\circ=60^\circ

说明当前相位距离振荡条件还差 $60^\circ$

如果总相位变化已经达到 $360^\circ$ ：

\mathrm{PM}=360^\circ-360^\circ=0^\circ

这时候幅度条件和相位条件同时满足，电路正好处在振荡的临界状态

所以相位裕度越大，电路距离振荡条件越远；相位裕度越小，电路就越容易出现振铃甚至振荡。一般来说，相位裕度在 $45^\circ$ 到 $60^\circ$ 左右时，电路会比较稳定。如果相位裕度太小，即使电路还没有持续振荡，输出也可能出现明显的过冲和振铃

这里为什么一定要在 $\left|T\right|=1$ 的频率下看相位呢？因为振荡要求幅度和相位两个条件同时满足。脱离增益交越频率，只看某个频率下的相位是否接近 $360^\circ$ 并没有太大意义

相位的产生

那大家可能会有疑问：环路中的这些相位变化到底是从哪里产生的？我没有相位变化这件事不就会很完美的解决了吗？这只是理想情况下信号进入放大器以后，输出会立刻跟着输入发生变化。但是真实电路中存在电容和电感，它们都会储存能量，所以电路不可能在一瞬间完成响应。输出相对于输入会慢一些，就会造成一定的相位滞后

我们先看一个最简单的 RC 低通电路，它的传递函数为：

H(j\omega) =\frac{1}{1+j\omega RC}

令：

\omega_0=\frac{1}{RC}

那么传递函数可以写成：

H(j\omega) =\frac{1}{1+j\omega/\omega_0}

它的幅度为：

\left|H(j\omega)\right| =\frac{1}{\sqrt{1+\left(\omega/\omega_0\right)^2}}

它的相位为：

\angle H(j\omega) =-\arctan\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)

这里的负号就表示输出信号落后于输入信号。为了方便计算累计的相位滞后，我们把它滞后的大小记作 $\phi_H(\omega)$ ：

\phi_H(\omega) =\arctan\left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)

当频率很低时：

\omega\ll\omega_0

\phi_H(\omega)\approx0^\circ

这时候电容对电路的影响很小，输出基本可以跟上输入。

当频率刚好等于极点频率时：

\omega=\omega_0

\phi_H(\omega_0)=45^\circ

当频率越来越高时：

\phi_H(\omega)\rightarrow90^\circ

所以一个 RC 极点最多可以产生接近 $90^\circ$ 的相位滞后，不过只能不断接近，不能在有限频率下真正达到 $90^\circ$ 。真实的放大器里往往不只有一个极点。晶体管内部的寄生电容、级间电容和输出端的负载电容，都可能和电阻一起形成新的极点。

如果一个放大器中有两个极点，那么它的传递函数可以写成：

A(j\omega) =\frac{A_0} {\left(1+j\omega/\omega_1\right) \left(1+j\omega/\omega_2\right)}

两个极点产生的相位滞后会直接相加：

\phi_A(\omega) =\arctan\left(\frac{\omega}{\omega_1}\right) +\arctan\left(\frac{\omega}{\omega_2}\right)

每个极点最多产生接近 $90^\circ$ 的相位滞后，所以两个极点加起来最多接近 $180^\circ$ 。如果反馈网络 $\beta(j\omega)$ 中也有电容或者电感，它产生的相位滞后也要继续加到环路中。

在本文使用的环路增益中，求和点的减号本身已经相当于 $180^\circ$ 的相位变化。所以信号绕环路一圈产生的总相位变化为：

\angle T(j\omega) =180^\circ+\phi_A(\omega)+\phi_\beta(\omega)

低频时，放大器和反馈网络产生的相位滞后都很小，所以总相位变化会接近 $180^\circ$ 。随着频率升高，各个极点产生的相位滞后不断增加，总相位变化也会逐渐接近 $360^\circ$

在这个理想模型中，只有两个极点时，额外的相位滞后只能不断接近 $180^\circ$ 。但是当它真正接近 $180^\circ$ 时，放大器的增益通常已经下降得非常小，所以幅度条件和相位条件很难在同一个频率下同时满足，因而不会出现振荡。

但是当环路中出现三个或者更多极点时，总相位变化就可能在环路增益还没有降到 1 以下之前达到 $360^\circ$ 。这时候巴克豪森准则的两个条件就可能同时满足，电路也就有了产生振荡的可能。

所以相位并不是突然出现的，它把电路中电容、电感以及各种延迟产生的响应滞后不断累加，最后就可能把原本用来稳定电路的负反馈变成正反馈。

相位滞后所带来的影响——振荡

现在再回到最开始的求和点，它做的事情是：

e=\mathrm{in}-\mathrm{fb}

在频率比较低的时候，反馈信号可以及时回到求和点。输出变大，反馈信号也跟着变大，然后从输入中减去，让误差信号 $e$ 变小，这时候反馈确实在阻止输出继续变大

但是如果放大器和反馈网络又产生了额外的 $180^\circ$ 相位滞后，那么反馈信号回到求和点时就已经反相了。相位变化 $180^\circ$ 和乘以 $-1$ 是同一件事情：

\mathrm{e}^{j180^\circ}=-1

求和点本来就要对反馈信号做一次减法，所以这时候实际得到的是：

-(-\mathrm{fb})=+\mathrm{fb}

这样一来，原本应该减掉的反馈信号反而被加了回去。电路的连接方式没有变化，但是在这个频率下，负反馈已经变成了正反馈

从总相位变化来看，求和点的减号带来了 $180^\circ$ ，放大器和反馈网络又带来了额外的 $180^\circ$ ：

180^\circ+180^\circ=360^\circ

实际电路中本来就存在热噪声、电源纹波等各种各样的很小的扰动，并不需要我们主动放入一个信号才能开始振荡。这些扰动中包含很多不同的频率，但是只有同时满足幅度条件和相位条件的那个频率会被不断放大，其他频率都会逐渐减小

所以负反馈会产生振荡是因为相位滞后又带来了一个负号。两个负号相乘以后，原本用来减小误差的负反馈，就变成了不断放大误差的正反馈。

欢迎有相关知识的工程师拷打（（（

3B1B 《线性代数的本质》笔记

M1saK1 — Sat, 21 Feb 2026 00:00:00 GMT

视频链接如下

Youtube bilibili

正如作者所言，这只是一个用来建立线性代数几何直觉的教程，不是学习一个完整的线性代数课程。但获得这些几何直觉会有助于学习后续的线性代数知识，让你从本质上理解学习到的线性代数知识。

向量与线性组合

向量其实可以是一个箭头 →（物理角度）

可以是一组数的列表 [1,2,3,4]（竖起来的）（学计算机学的）

其实在系列的最后，作者也说了其实向量可以是非常多的东西，比如函数其实也是一种向量

从物理和计算机角度可以去理解向量加法和向量数乘

把向量依次首尾相连和缩放（Scaling）（物理）
把向量各元素分别相加和向量各元素乘上标量（计算机）

在一个坐标系中，我们可以定义一组基向量（Basis Vectors）

可以把向量看作两个基向量缩放然后首尾相连的过程

基向量可以随意的定义

这种向量缩放和相加的过程就是线性组合（Linear Combination）。任意一个向量都可以理解成基向量的线性组合

一组基向量进行线性组合所能达到的所有的点的集合就是该组基向量张成的空间（Span）。在二维情况下，只要基向量不共线，空间就可以覆盖二维平面上的所有点；如果共线就是只有一条直线；都为零向量就是一个点

如果能在一组基向量中移除一个向量，而不影响由这些基向量所张成的空间（即移除的这个向量能用其他基向量表示），那么这组基向量就是线性相关（Linearly Dependent）的，否则就是线性无关（Linearly Independent）的

矩阵乘向量

矩阵其实可以当作一个对基向量的线性变换。变换是函数的另一种说法，线性变换就是向量映射为向量,变换暗含着向量是在移动的意思

线性变换需要满足

变换后直线还是直线
原点不能移动

线性变换就是保持网格线平行且等距分布的变换

矩阵与向量相乘，就是将向量应用与这个线性变换

这里就是将原本的坐标系中的向量中的每个元素，都应用与线性变换后的基向量相乘，就是线性变换后的向量了

矩阵对应的线性变换就是将原基向量张成的空间映射到变换后基向量张成的空间。如果矩阵的各列是线性相关的，说明在线性变换后，基向量是共线的。在二维的情况下，就是将平面压缩成一维直线。

矩阵乘矩阵

依次应用多个线性变换为复合变换，也就是多个矩阵相乘

一个向量依次经历两个矩阵的线性变换得到的结果，等价于其经过一个复合变换的结果

注意，如果将矩阵的乘法看成是两个相继的线性变换，则需要 从右往左 阅读，即被作用的向量是先经历靠右矩阵的变换，然后经历靠左矩阵的变换。这类似函数的嵌套，即 f(g(x))。

计算可以想象右侧矩阵线性变换所代表的的基向量，每个基向量再应用于左侧的变换，基向量就经历了两次变换

以此就可以想象矩阵乘法为什么满足结合率，但进行矩阵乘法时如果将矩阵变换顺序就会影响结果

行列式

行列式是线性变换后空间面积或者体积相对之前的来说缩放的比例

如果变换改变了空间的定向（比如2D中从正面到反面，三维中是否符合右手定则），那么行列式就是负值

如果矩阵的行列式等于0，则意味着原空间经过该线性变换后，被压缩到一个低维空间里，使得”体积”变为零。同时，这也意味着变换后的基向量是 线性相关 的。

逆矩阵，列空间，秩，零空间

对一个向量进行一次变换再变回去，变回去的这个线性变换所代表的矩阵就是第一次进行变换的逆变换

从几何直观出发，如果矩阵A 的行列式不为零，则有一个 逆变换 A^-1，有

如果 A 的行列式为零，该矩阵将原空间压缩到一个低维空间里，则不存在逆变换，因为不存在一个”函数”，可以将一个值映射到多个值。

如果 A 的行列式为零，只有当向量v 恰好处在那个被压缩后的低维空间里，原方程组才有解（且有无穷多个解），否则没有解。

秩是矩阵对应的 线性变换的输出空间的维度。输出空间其实就是矩阵的每一列作为向量所张成的空间，被称为 列空间。一个矩阵的秩的最大可能取值就是其列数，只有取到该最大值时，行列式才不为零，此时被称为满秩；当秩小于列数时，行列式为零。

当矩阵满秩时，只有零向量会被映射为零向量。当矩阵不满秩时，意味着有些非零向量被映射成零向量，这些原空间中的非零向量张成的空间被称为 零空间或者核。当 v 正好是零向量时，零空间中的所有向量构成原方程组的解集。

非方阵

非方阵定义了一个不同维度空间变换的线性变换，从列数维度的空间扩展到行数维度的空间，矩阵中的各列向量就是线性变换后的基向量，张成该空间

一个3*2（3行2列）的矩阵，就是从一个2维空间映射到3维空间，但显然不能张成该3维空间；通常只能张成一个平面，也可能压缩成直线或原点。

一个2*3（2行3列）的矩阵，就是从一个3维空间映射到2维空间，通常能够张成该2维空间，也可能压缩成直线或原点。

点积

v和w的点积，在几何上等同于将w投影到v上，然后v乘w的投影

也可以将v看作一个1*2的矩阵([v1,v2]),v就是一个线性变换，从二维到一维，那v1，v2分别代表他们映射到数轴上的位置，通过对偶性就得到了一个新的一维空间的基向量坐标。w=[w1,w2]映射到这基向量上就是w1*v1+w2*v2

叉积

v和w的叉积在数值上等于v和w形成的平行四边形的面积

二维空间中叉积的结果就是一个值，就是计算v和w两个向量形成的行列式（代表着面积（不严谨的说））

三维空间中叉积的结果是一个向量