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正如作者所言，这只是一个用来建立线性代数几何直觉的教程，不是学习一个完整的线性代数课程。但获得这些几何直觉会有助于学习后续的线性代数知识，让你从本质上理解学习到的线性代数知识。
向量与线性组合
向量其实可以是一个箭头 →（物理角度）
可以是一组数的列表 [1,2,3,4]（竖起来的）（学计算机学的）
其实在系列的最后，作者也说了其实向量可以是非常多的东西，比如函数其实也是一种向量
从物理和计算机角度可以去理解向量加法和向量数乘
- 把向量依次首尾相连和缩放（Scaling）（物理）
- 把向量各元素分别相加和向量各元素乘上标量（计算机）
在一个坐标系中，我们可以定义一组基向量（Basis Vectors）
可以把向量看作两个基向量缩放然后首尾相连的过程
基向量可以随意的定义
这种向量缩放和相加的过程就是线性组合（Linear Combination）。任意一个向量都可以理解成基向量的线性组合
一组基向量进行线性组合所能达到的所有的点的集合就是该组基向量张成的空间（Span）。在二维情况下，只要基向量不共线，空间就可以覆盖二维平面上的所有点；如果共线就是只有一条直线；都为零向量就是一个点
如果能在一组基向量中移除一个向量，而不影响由这些基向量所张成的空间（即移除的这个向量能用其他基向量表示），那么这组基向量就是线性相关（Linearly Dependent）的，否则就是线性无关（Linearly Independent）的
矩阵乘向量
矩阵其实可以当作一个对基向量的线性变换。变换是函数的另一种说法，线性变换就是向量映射为向量,变换暗含着向量是在移动的意思
线性变换需要满足
- 变换后直线还是直线
- 原点不能移动
线性变换就是保持网格线平行且等距分布的变换
矩阵与向量相乘，就是将向量应用与这个线性变换
这里就是将原本的坐标系中的向量中的每个元素，都应用与线性变换后的基向量相乘，就是线性变换后的向量了
矩阵对应的线性变换就是将原基向量张成的空间映射到变换后基向量张成的空间。如果矩阵的各列是线性相关的，说明在线性变换后，基向量是共线的。在二维的情况下，就是将平面压缩成一维直线。
矩阵乘矩阵
依次应用多个线性变换为复合变换，也就是多个矩阵相乘
一个向量依次经历两个矩阵的线性变换得到的结果，等价于其经过一个复合变换的结果
注意，如果将矩阵的乘法看成是两个相继的线性变换，则需要 从右往左 阅读，即被作用的向量是先经历靠右矩阵的变换，然后经历靠左矩阵的变换。这类似函数的嵌套，即 f(g(x))。
计算可以想象右侧矩阵线性变换所代表的的基向量，每个基向量再应用于左侧的变换，基向量就经历了两次变换
以此就可以想象矩阵乘法为什么满足结合率，但进行矩阵乘法时如果将矩阵变换顺序就会影响结果
行列式
行列式是线性变换后空间面积或者体积相对之前的来说缩放的比例
如果变换改变了空间的定向（比如2D中从正面到反面，三维中是否符合右手定则），那么行列式就是负值
如果矩阵的行列式等于0，则意味着原空间经过该线性变换后，被压缩到一个低维空间里，使得”体积”变为零。同时，这也意味着变换后的基向量是 线性相关 的。
逆矩阵，列空间，秩，零空间
对一个向量进行一次变换再变回去，变回去的这个线性变换所代表的矩阵就是第一次进行变换的逆变换
从几何直观出发，如果 矩阵A 的行列式不为零，则有一个 逆变换 A^-1，有
如果 A 的行列式为零，该矩阵将原空间压缩到一个低维空间里，则不存在逆变换，因为不存在一个”函数”，可以将一个值映射到多个值。
如果 A 的行列式为零，只有当 向量v 恰好处在那个被压缩后的低维空间里，原方程组才有解（且有无穷多个解），否则没有解。
秩是矩阵对应的 线性变换的输出空间的维度。输出空间其实就是矩阵的每一列作为向量所张成的空间，被称为 列空间。一个矩阵的秩的最大可能取值就是其列数，只有取到该最大值时，行列式才不为零，此时被称为 满秩；当秩小于列数时，行列式为零。
当矩阵满秩时，只有零向量会被映射为零向量。当矩阵不满秩时，意味着有些非零向量被映射成零向量，这些原空间中的非零向量张成的空间被称为 零空间或者 核。当 v 正好是零向量时，零空间中的所有向量构成原方程组的解集。
非方阵
非方阵定义了一个不同维度空间变换的线性变换，从列数维度的空间扩展到行数维度的空间，矩阵中的各列向量就是线性变换后的基向量，张成该空间
一个3*2（3行2列）的矩阵，就是从一个2维空间映射到3维空间，但显然不能张成该3维空间；通常只能张成一个平面，也可能压缩成直线或原点。
一个2*3（2行3列）的矩阵，就是从一个3维空间映射到2维空间，通常能够张成该2维空间，也可能压缩成直线或原点。
点积
v和w的点积，在几何上等同于将w投影到v上，然后v乘w的投影
也可以将v看作一个1*2的矩阵([v1,v2]),v就是一个线性变换，从二维到一维，那v1，v2分别代表他们映射到数轴上的位置，通过对偶性就得到了一个新的一维空间的基向量坐标。w=[w1,w2]映射到这基向量上就是w1*v1+w2*v2
叉积
v和w的叉积在数值上等于v和w形成的平行四边形的面积
二维空间中叉积的结果就是一个值，就是计算v和w两个向量形成的行列式（代表着面积（不严谨的说））
三维空间中叉积的结果是一个向量