温斯洛探针

基于 Thomas A. Winslow 的 General Circuit Analysis Using The WSProbe。
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WSProbe 要解决的问题

复杂有源电路的稳定性问题，往往不是发生在输入、输出两个外部端口，而可能在的电路的各种地方。从稳定性的定义看，若有限扰动进入一个线性时不变网络后，节点电压、电流或输出响应持续增长，网络就不稳定。真实电路中的噪声足以充当这种微小扰动，因此不稳定网络可能出现自启动振荡。[p.8]

在拉普拉斯域中，作者的表述是网络行列式在右半s平面不能有零点

这是一种直接的稳定性描述，但实际设计中很少有人手工构造完整网络矩阵、计算行列式，再求全部特征根。复杂微波网络这样做通常太麻烦。[p.8-9]

传统两端口指标，例如 $K$、$B$、稳定圆等，计算方便，但只能从两个外部端口观察网络，可能漏掉内部反馈和隐藏失稳。因此关注点转向内部节点的传递函数。[p.30-31]

WSProbe 是一个数学工具。它根据探针所在的节点，生成串联、并联、节点和跨节点传递函数的完整矩阵。[p.36]

“节点传递函数”携带稳定性信息

先看最基本的辅助激励

在节点 $1$ 并联注入一个很小的辅助电流 $I_1$，测得节点电压 $V_1$。定义驱动点阻抗：

$$H_{11}=\frac{V_1}{I_1}.$$

若完整电路的节点导纳矩阵为 $Y$，由克拉默法则：

$$V_1=I_1\frac{\operatorname{Cof}_{11}}{|Y|},$$

因此：

$$\boxed{ H_{11}=\frac{V_1}{I_1} =\frac{\operatorname{Cof}_{11}}{|Y|} } \tag{1}$$

• $|Y|$：完整网络的导纳矩阵行列式
• $\operatorname{Cof}_{11}$：对应的余子式
• $H_{11}$：节点 1 的驱动点阻抗

[p.27-28]

虽然激励施加在一个具体节点，但分母 $|Y|$ 包含的是整个已建模网络：

• 有源器件
• 偏置和旁路
• 端接
• 远处耦合
• 反馈支路
• 其他内部节点

所以节点阻抗不是“探针附近元件的局部阻抗”那么简单，而是完整网络加载在该节点上的响应。

同样若在节点 $j$ 注入电流 $I_j$，在节点 $i$ 测量电压 $V_i$，得到跨节点传递阻抗：

$$\boxed{ H_{ij}=\frac{V_i}{I_j} =\frac{\operatorname{Cof}_{ji}}{|Y|} } \tag{2}$$

[p.28]

也以完整网络行列式为分母。

完整网络的反馈结构改变时，完整 $Y$ 矩阵、$|Y|$ 和余子式都会跟着改变，最后反映到节点阻抗、导纳或跨节点传递函数上，所以 WSProbe 在这个节点得到的结果也会改变。

串联电压辅助源产生的驱动点导纳，以及并联电流辅助源产生的驱动点阻抗，共享系统极点；若系统极点位于右半 $s$ 平面，就对应网络不稳定。[p.26]

WSProbe ：双激励与 wsp() / $P$ 矩阵

探针双激励所导出传递函数

在一个节点放置 WSProbe 后，我们使用两种激励：

• 串联电压激励 $v_S$
• 并联电流激励 $i_P$

对应的两类响应是

• 串联支路中的电流 $i_S$
• 并联节点电压 $v_P$

这些得到的传递函数可由网络矩阵直接导出。[p.38-39] 每个传递函数都应读作

$$\boxed{ \text{传递函数}= \frac{\text{响应}}{\text{激励}} }$$

单个 WSProbe 的 $P$ 矩阵

单探针时，wsp() 的本地 $2\times2$ 子矩阵记为 $P$：

$$\boxed{ P= \begin{bmatrix} \dfrac{i_S}{v_S} & \dfrac{v_P}{v_S}\\[8pt] \dfrac{i_S}{i_P} & \dfrac{v_P}{i_P} \end{bmatrix} } \tag{3}$$

[p.38,44]

四个元素分别表示：

激励	响应	传递函数	含义
串联电压 $v_S$	串联电流 $i_S$	$\dfrac{i_S}{v_S}$	驱动点导纳
串联电压 $v_S$	并联电压 $v_P$	$\dfrac{v_P}{v_S}$	交叉响应
并联电流 $i_P$	串联电流 $i_S$	$\dfrac{i_S}{i_P}$	交叉响应
并联电流 $i_P$	并联电压 $v_P$	$\dfrac{v_P}{i_P}$	驱动点阻抗

其中两个对角元素有专门名称

$$\boxed{ Y0=\frac{i_S}{v_S} }$$

称为驱动点导纳

$$\boxed{ H0=\frac{v_P}{i_P} }$$

称为驱动点阻抗。[p.34,38,44]

两个非对角项为什么重要

如果只保留：

$$H0=\frac{v_P}{i_P}$$

那么只知道在该节点并联注流后，该节点的电压如何响应

如果只保留：

$$Y0=\frac{i_S}{v_S}$$

那么只知道在该支路串联施加电压后，支路电流如何响应

但 WSProbe 还保留

$$\frac{v_P}{v_S}, \qquad \frac{i_S}{i_P}.$$

它们将串联描述和并联描述连接起来。这两个非对角传递函数补全了 wsp() 矩阵，使它能够用于更一般的局部和全局阻抗/稳定性分析。[p.38]

这里有 $v_S$、$i_P$ 两种独立激励，每种激励下都记录 $i_S$、$v_P$ 两类响应，所以一共得到四个归一化传递函数。

有一个需要注意的点是，这四个量是不同激励条件下定义的传递函数，不能把它们当作同一次实验中的普通代数变量，任意交叉约分，式中两个传递函数之积不能通过重新组合或交叉相乘来简化。[p.43]

从 $P$ 矩阵到等效两端口

WSProbe 的端子定义观察边界

WSProbe 是有两个端子的，并带有 G 与 L 的方向标记：

• G：Generator，发生器方向
• L：Load，负载方向

方向主要服务于后续双向阻抗和子网络分析[p.37]

单个 WSProbe 从自己的两个端子感知嵌入网络，然后我们把 WSProbe 外的任意复杂网络，数学上约化为并联在 WSProbe 两端的等效两端口网络。[p.42]

这里的局部是说两端口的观察边界由 WSProbe 的两个端子定义，不是保留探针附近的几个元件。

这个等效两端口仍包含完整嵌入电路的影响，比如远端晶体管，偏置网络，旁路等等

外部参考端接、直流供电和旁路都被包含在约化 $Y$ 矩阵中。刺激是局部的，但响应原则上是全电路范围[p.42]

传递函数求四个 $Y$ 参数

约化后的两端口可写为：

$$[Y]= \begin{bmatrix} y_{11} & y_{12}\\ y_{21} & y_{22} \end{bmatrix}.$$

它有四个未知量：

$$y_{11},\ y_{12},\ y_{21},\ y_{22}.$$

WSProbe 的双激励提供四个归一化响应：

$$\frac{i_S}{v_S},\quad \frac{v_P}{v_S},\quad \frac{i_S}{i_P},\quad \frac{v_P}{i_P}.$$

作者由两种注入条件下的 KCL/KVL 方程建立四元方程组，再解出约化两端口的四个 $Y$ 参数。[p.42-43]

这四个传递函数不是分别对应四个 $Y$ 参数，而是共同构成方程组，再由这个方程组求出四个 $Y$ 参数。

紧凑形式

定义：

$$|P|=P_{11}P_{22}-P_{12}P_{21}$$

以及：

$$\alpha=|P|$$ $$\beta=|P|+P_{12}$$ $$\gamma=|P|-P_{21}$$ $$\delta=|P|+P_{12}-P_{21}+1.$$

那么约化两端口的导纳矩阵可写为：

$$\boxed{ [Y] = \frac{1}{H0} \begin{bmatrix} \delta & -\beta\\ -\gamma & \alpha \end{bmatrix} } \tag{4}$$

[p.44]

由同一个 $P$ 矩阵，还可得到阻抗矩阵：

$$\boxed{ [Z] = \frac{1}{Y0} \begin{bmatrix} \alpha & \beta\\ \gamma & \delta \end{bmatrix} } \tag{5}$$

[p.46]

两者描述的是同一个等效两端口：

$$\boxed{ [Y]=[Z]^{-1} } \tag{6}$$

[p.47]

$Y$ 参数与 $Z$ 参数（为啥要有俩）

$[Y]$ 和 $[Z]$ 都来自同一个 $P$ 矩阵，那为什么我们需要讨论两者

$$\begin{bmatrix} i_1\\ i_2 \end{bmatrix} = [Y] \begin{bmatrix} v_1\\ v_2 \end{bmatrix}, \qquad \begin{bmatrix} v_1\\ v_2 \end{bmatrix} = [Z] \begin{bmatrix} i_1\\ i_2 \end{bmatrix}.$$

• 讨论电流与电压的导纳关系时，用 $[Y]$ 更自然
• 讨论观察阻抗时，用 $[Z]$ 更自然
• 它们都不是稳定性判据本身，而是从传递函数得到的中间模型

由两端口派生出的量

从约化的 $[Y]$ 或 $[Z]$ 两端口，可以计算多种工程量

局部双边环路增益 $LG$ 与返回差 $F$

由约化两端口定义返回比：

$$T_y= \frac{y_{12}+y_{21}}{y_{11}+y_{22}}.$$

并采用：

$$\boxed{ LG=-T_y = -\frac{y_{12}+y_{21}}{y_{11}+y_{22}} } \tag{7}$$

[p.49]

对应的返回差为：

$$\boxed{ F=1-LG } \tag{8}$$

[p.50]

如果 $y_{11}+y_{22}=0$，$T_y$ 的分母也会变成 0，这时不能再用这个比值。两个端口的自导纳可以在有源网络中相互抵消，所以这种情况确实可能出现。

$LG$ 和 $F$ 反映这个 WSProbe 位置的双向耦合与反馈有多强。用它们可以看信号大致怎样返回、哪个节点附近存在明显反馈，以及调整元件后局部反馈怎样变化。 但论文也指出：

$$\boxed{ LG\text{ 和 }F\text{ 不是基本电路量， 也不是严格、完备的全局稳定性证明。} }$$

[p.50-51]

原因是若探针放在两个网络块的公共节点，而两个网络块之间没有跨越该节点的反馈路径，那么

$$y_{12}=y_{21}=0$$

$y_{12}$ 表示端口 2 的电压对端口 1 电流的影响。两个网络块之间没有其他连接时，端口 2 的变化没有路径传到端口 1，所以 $y_{12}=0$；反过来也一样，因此 $y_{21}=0$。所以

$$LG=0.$$

但其中一个网络块仍可能在自己的内部不稳定。[p.62]

所以 $LG\approx0$ 只表示这个探针位置没有明显的跨端口反馈，不等于整个电路稳定

双向观察阻抗 $Z_G,Z_L$

从约化两端口出发，定义从 G、L 两侧看进去的双向观察阻抗：

$$\boxed{ Z_G= \frac{y_{12}+y_{22}} {y_{11}y_{22}-y_{21}y_{12}} }$$ $$\boxed{ Z_L= \frac{y_{21}+y_{11}} {y_{11}y_{22}-y_{21}y_{12}} } \tag{9}$$

[p.53]

它们也可由 $[Z]$ 与 WSProbe 的传递函数写出：

$$Z_G=z_{11}-z_{12} = -\frac{1}{Y0}\frac{v_P}{v_S}$$ $$Z_L=z_{22}-z_{21} = \frac{1}{Y0} \left(1+\frac{v_P}{v_S}\right). \tag{10}$$

[p.53-54]

这说明：

$$\frac{v_P}{v_S}$$

这个非对角传递函数，是从 $Y0$ 构造两侧观察阻抗所必需的信息。

把 $Z_G$ 和 $Z_L$ 相加

$$\boxed{ Z_G+Z_L = \frac{1}{Y0} = \frac{V_S}{I_S} } \tag{11}$$

[p.54]

这是串联辅助电压源面对的总驱动点阻抗

双向观察导纳 $Y_G,Y_L$

对偶地，并联电流注入下可定义：

$$Y_G=y_{11}+y_{12} = \frac{1}{H0} \left(1-\frac{i_S}{i_P}\right)$$ $$Y_L=y_{22}+y_{21} = \frac{1}{H0} \left(\frac{i_S}{i_P}\right). \tag{12}$$

[p.55]

这次需要的非对角项是：

$$\frac{i_S}{i_P}.$$

相应的和为：

$$\boxed{ Y_G+Y_L = \frac{1}{H0} = \frac{I_P}{V_P} } \tag{13}$$

[p.56]

稳定性的基本量？

单独的 $Z_G,Z_L,Y_G,Y_L$ 是有用的工程观察量。但是存在反馈时，单独分给 G 与 L 两侧的数值不一定唯一。与驱动点传递函数直接对应，并且带有网络行列式信息的是它们的和

$$\boxed{ Z_G+Z_L=\frac1{Y0} }$$ $$\boxed{ Y_G+Y_L=\frac1{H0} }$$

[p.57]

稳定性分析中要看的是 $Z_G+Z_L=1/Y0$ 和 $Y_G+Y_L=1/H0$，不能把单独的 $Z_G$ 或 $Z_L$ 当作全局稳定性的严格证明

$H0$、$Y0$ 与稳定性的关系

稳定性分析使用H和Y的倒数

$$H0=\frac{v_P}{i_P}$$

是驱动点阻抗。

当网络在某频率附近出现与失稳相关的极点时，$H0$ 可能趋于无穷大。直接在极坐标图中处理无穷大不方便，因此作者建议看：

$$\frac1{H0}.$$

类似地：

$$Y0=\frac{i_S}{v_S}$$

是驱动点导纳，也可以检查：

$$\frac1{Y0}.$$

反演后，网络行列式从传递函数分母进入分子，极坐标行为更直接受网络行列式影响。[p.35]

Kurokawa 启动条件在 WSProbe

对第 $i$ 个 WSProbe 节点，基于 $H0_i$ 写出线性启动条件：

$$\operatorname{Re} \left\{ \frac1{H0_i} \right\}<0$$ $$\operatorname{Im} \left\{ \frac1{H0_i} \right\}=0$$ $$\frac{\partial}{\partial\omega} \operatorname{Im} \left\{ \frac1{H0_i} \right\}>0. \tag{15}$$

[p.71]

含义是：

• 总导纳实部为负，存在净负阻尼或向扰动供能的趋势
• 总导纳虚部为零，满足该频率上的反应平衡
• 虚部随频率增加的穿越方向满足作者给出的启动条件

对 $Y0_i$，有完全对偶的表达：

$$\operatorname{Re} \left\{ \frac1{Y0_i} \right\}<0$$ $$\operatorname{Im} \left\{ \frac1{Y0_i} \right\}=0$$ $$\frac{\partial}{\partial\omega} \operatorname{Im} \left\{ \frac1{Y0_i} \right\}>0. \tag{16}$$

[p.72]

在极坐标图上可以描述为

$1/H0$ 或 $1/Y0$ 随频率增加，以顺时针方向穿越原点附近并经过负实轴。

为什么必须同时检查 $H0$ 与 $Y0$？

复杂网络内部的失稳既可能呈现偏串联型的谐振特征，也可能呈现偏并联型的谐振特征。

作者因此建议同时检查两者 $1/H0$ 和 $1/Y0$

[p.70-72]

只看 $1/H0$ 没有异常，还不能判断电路稳定。某个失稳特征可能只在 $1/Y0$ 中更明显，反过来也一样。

极点掩蔽

极点掩蔽是极点和零点不在完全相同的复频率，但它们具有相近的频率 $\omega$，耗散因子或实部 $\sigma$ 不同。结果是传递函数在极坐标图上不明显表现 Kurokawa 特征。

[p.73]

同一节点的 $H0$ 与 $Y0$ 有一个很重要的关系：

$$H0(s)=\frac{N_H(s)}{D(s)}, \qquad Y0(s)=\frac{N_Y(s)}{D(s)}.$$

这是一种概念表达。作者在串联与并联不稳定谐振器例子中说明：两者分母相同，所以系统极点相同，两者分子不同，所以零点不同。[p.75,77-78]

所以 $H0$ 的零点可能遮住 $H0$ 中不稳定极点的图形特征，让 $1/H0$ 看起来没有明显异常；但 $Y0$ 的零点结构不同，$1/Y0$ 仍可能显示同一个不稳定极点。反过来也一样。

两个理想化例子：

• 串联型失稳例子中，$H0$ 出现极点掩蔽，而 $Y0$ 显示异常[p.76-77]
• 并联型失稳例子中，$Y0$ 出现极点掩蔽，而 $H0$ 显示异常[p.78-79]

检查可疑节点时，要同时看 $1/H0$ 和 $1/Y0$；如果仍然无法判断，再做极点—零点分解

环路增益方法只是 WSProbe 节点传递函数方法的一个子集。在没有跨探针反馈时，$LG$ 可能为零，但节点传递函数仍可显示不稳定。[p.80]

多探针来表述跨节点网络信息

为什么单个 $P$ 矩阵不够？

单探针只能描述在节点 $i$ 激励时，节点 $i$ 本身如何响应，但复杂网络还需要知道在节点 $i$ 注入扰动时，节点 $j$ 会如何响应？

$$\frac{v_{Pj}}{i_{Pi}}.$$

这不是节点 $i$ 的本地阻抗，也不是节点 $j$ 的本地阻抗，而是从节点 $i$ 到节点 $j$ 的传递阻抗。

如果只保存每个节点自己的本地 $P_i$ 矩阵，就不知道节点 $i$ 的扰动沿整个网络传播以后，会在节点 $j$ 产生什么响应

多探针 wsp() 矩阵

若有 $N$ 个 WSProbe，整体 wsp() 是一个 $N\times N$ 的块矩阵；每个块都是 $2\times2$：

$$\mathrm{wsp}= \begin{bmatrix} \mathrm{wsp}_{1,1} & \mathrm{wsp}_{1,2} & \cdots & \mathrm{wsp}_{1,N}\\ \mathrm{wsp}_{2,1} & \mathrm{wsp}_{2,2} & \cdots & \mathrm{wsp}_{2,N}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \mathrm{wsp}_{N,1} & \mathrm{wsp}_{N,2} & \cdots & \mathrm{wsp}_{N,N} \end{bmatrix}. \tag{17}$$

[p.39]

实际数据集里，它是：

$$\boxed{ 2N\times2N }$$

矩阵。[p.39-40]

对于“探针 $i$ 激励、探针 $j$ 响应”，子块为：

$$\boxed{ \mathrm{wsp}_{i,j}= \begin{bmatrix} \dfrac{i_{Sj}}{v_{Si}} & \dfrac{v_{Pj}}{v_{Si}}\\[8pt] \dfrac{i_{Sj}}{i_{Pi}} & \dfrac{v_{Pj}}{i_{Pi}} \end{bmatrix} } \tag{18}$$

[p.40]

下标规则必须固定：

$$\boxed{ i=\text{激励探针}, \qquad j=\text{响应探针}. }$$

对角块与非对角块

• 对角块 $\mathrm{wsp}_{i,i}$ 表示探针 $i$ 激励、探针 $i$ 响应，也就是本地 $P_i$ 矩阵。
• 非对角块 $\mathrm{wsp}_{i,j}$（$i\neq j$）表示探针 $i$ 激励、探针 $j$ 响应，也就是跨节点传递函数。

[p.39-40]

其中最常用的两个跨节点量是：

$$\boxed{ H0_{ij}= \frac{v_{Pj}}{i_{Pi}} = \mathrm{wsp}(2i,2j) } \tag{19}$$

跨节点传递阻抗；

$$\boxed{ Y0_{ij}= \frac{i_{Sj}}{v_{Si}} = \mathrm{wsp}(2i-1,2j-1) } \tag{20}$$

跨节点传递导纳。[p.82-83]

本地驱动点量只是 $i=j$ 时的特殊情况：

$$H0_{ii}=\frac{v_{Pi}}{i_{Pi}}, \qquad Y0_{ii}=\frac{i_{Si}}{v_{Si}}.$$

两个探针：原位隔离子网络和反馈网络

两个探针不仅能测节点 1 传到节点 2 有多强，还可以定义一个功能块的两个端点。

例如，在 FET 的栅极和漏极各放一个 WSProbe。两个探针之间是目标子网络 FET，绕开 FET、但仍然连接两个探针端子的其他路径组成外部反馈网络 $Y_f$。

此时，数学上可将完整电路分成并联在同一对端口之间的两个两端口：

• 目标子网络 $[Y]$，例如 FET 本身或一个待研究的增益级
• 外部反馈网络 $[Y_f]$，也就是所有绕开目标子网络、但仍跨接在同一对探针端子之间的其余路径

$[Y_f]$ 可以任意复杂，甚至可包含其他增益级、端接、旁路和偏置网络。[p.84-85]只要不属于目标子网络，又能从一个探针端子绕到另一个探针端子，就属于等效反馈网络的一部分。

例如，从 FET 漏极经过偏置网络、旁路、寄生耦合后回到栅极的路径，应归入 $[Y_f]$，而不是归入 FET 自身的 $[Y]$。

两个探针的本地和跨节点传递函数可用于同时求出这两个等效网络的 $Y$ 参数。这样可以在不手工拆开子网络、不破坏偏置连续性和端接环境的前提下，对嵌入完整电路中的子网络做原位分析。[p.85-86]